Basic HTML Version
|
Προβλήματα
Εικόνα Π Μ1.65
57.
Υποθέστε ότι στις Η.Π.Α. υπάρχουν 100 εκατομμύ-
ρια αυτοκίνητα ιδιωτικής χρήσης και ότι κατά μέσο όρο
με ένα γαλόνι βενζίνης ένα αυτοκίνητο διανύει 20 μίλια.
Αν κάθε αυτοκίνητο διανύει κατά μέσο όρο 10 000 mi/yr,
πόση βενζίνη θα μπορούσε να εξοικονομηθεί ανά έτος αν
η μέση κατανάλωση καυσίμου μειωνόταν έτσι ώστε με
κάθε γαλόνι να καλύπτονται 25 μίλια;
58.
Σφαιρικό κέλυφος έχει εξωτερική ακτίνα 2.60 cm
και εσωτερική ακτίνα
a
. Το κέλυφος έχει ομοιόμορφο
πάχος και είναι κατασκευασμένο από υλικό με πυκνό-
τητα 4.70 g/cm
3
. Ο χώρος μέσα στο κέλυφος είναι γεμά-
τος με υγρό πυκνότητας 1.23 g/cm
3
. (α) Βρείτε τη μάζα
m
της σφαίρας, μαζί με το περιεχόμενό της, ως συνάρτηση
του
a
. (β) Για ποια τιμή της μεταβλητής
a
παίρνει η μάζα
m
τη μέγιστη δυνατή τιμή; (γ) Πόση είναι η μέγιστη μάζα;
(δ) Εξηγήστε αν η τιμή που βρήκατε στο ερώτημα (γ) θα
συμφωνεί με το αποτέλεσμα που θα πάρετε αν υπολογί-
σετε απευθείας τη μάζα μιας συμπαγούς ομογενούς σφαί-
ρας που είναι κατασκευασμένη από το ίδιο υλικό με το
κέλυφος. (ε)
Κι αν…;
Θα αλλάξει η απάντηση στο ερώ-
τημα (α) αν το εσωτερικό τοίχωμα της σφαίρας δεν είναι
ομόκεντρο με το εξωτερικό της τοίχωμα;
59.
Τα βακτήρια και άλλοι προκαρυώτες ζουν σε μεγάλα
βάθη κάτω από το έδαφος, μέσα στο νερό, καθώς και
στον αέρα. Το εκατομμυριοστόμετρο ή μικρό (10
2
6
m)
είναι η τυπική κλίμακα μήκους που αντιστοιχεί σε αυτά
τα μικρόβια. (α) Εκτιμήστε τον συνολικό αριθμό των
βακτηρίων και των άλλων προκαρυωτών στη Γη. (β)
Εκτιμήστε τη συνολική μάζα όλων αυτών των μικροβίων.
60.
Αέρας εισάγεται σε ένα σφαιρικό μπαλόνι έτσι
ώστε, όταν η ακτίνα του είναι 6.50 cm, ο ρυθμός αύξησης
της ακτίνας του είναι ίσος με 0.900 cm/s. (α) Βρείτε τον
ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του μπαλονιού. (β)
Αν ο ρυθμός ογκομετρικής παροχής του αέρα που εισά-
γεται στο μπαλόνι είναι σταθερός, ποιος είναι ο ρυθμός
αύξησης της ακτίνας όταν η ακτίνα είναι 13.0 cm; (γ) Εξη-
γήστε από φυσικής άποψης γιατί η απάντηση στο (β)
είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από 0.9 cm/s, στην περί-
πτωση που η ακτίνα είναι διαφορετική.
61.
Ράβδος που εκτείνεται από το σημείο
x
5
0 μέχρι το
x
5
14.0 cm έχει ομοιόμορφη διατομή με εμβαδόν
A
5
9.00
cm
2
. Η πυκνότητά της αυξάνεται σταθερά από το ένα
άκρο έως το άλλο από 2.70 g/cm
3
σε 19.3 g/cm
3
. (α) Προσ-
διορίστε τις σταθερές
B
και
C
που απαιτούνται στη σχέση
ρ
5
B
1
Cx
για να περιγραφεί η μεταβλητή πυκνότητα.
(β) Η μάζα της ράβδου δίνεται από τη σχέση
m
5
3
υλικού
r
dV
5
3
x
υλικού
r
A dx
5
3
14.0 cm
0
1
B
1
Cx
2 1
9.00 cm
2
2
dx
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα για να βρείτε τη μάζα της
ράβδου.
62.
Στη φυσική, είναι σημαντικό να χρησιμοποιούνται μαθη-
ματικές προσεγγίσεις. (α) Δείξτε ότι για μικρές γωνίες
(
,
20°), ισχύει
tan
a
<
sin
a
<
a 5
pa
r
180
όπου το
a
μετριέται σε ακτίνια και το
a9
σε μοίρες. (β)
Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για να βρείτε τη
μεγαλύτερη γωνία για την οποία η εφαπτομένη tan
α
μπορεί να προσεγγιστεί ως
α
με σφάλμα μικρότερο από
10.0%.
63.
Η κατανάλωση φυσικού αερίου από μια εταιρεία ικα-
νοποιεί την εμπειρική εξίσωση
V
5
1.50
t
1
0.008 00
t
2
,
όπου
V
είναι ο όγκος του αερίου σε εκατομμύρια κυβικά
πόδια και
t
είναι ο χρόνος σε μήνες. Εκφράστε την εξί-
σωση σε μονάδες κυβικών ποδιών και δευτερολέπτων.
Υποθέστε ότι ένας μήνας έχει 30.0 μέρες.
64.
Μια γυναίκα που θέλει να μάθει το ύψος ενός βου-
νού μετράει τη γωνία ύψους της κορυφής του βουνού
και βρίσκει ότι είναι ίση με 12.0°. Αφού περπατήσει σε
επίπεδο έδαφος και πλησιάσει κατά 1.00 km το βουνό,
μετράει πάλι τη γωνία και διαπιστώνει ότι τώρα είναι
14.0°. (α) Απεικονίστε διαγραμματικά το πρόβλημα, θεω-
ρώντας ότι το ύψος των ματιών της γυναίκας από το έδα-
φος είναι αμελητέο.
Υπόδειξη:
Σχεδιάστε δύο τρίγωνα.
(β) Στο διάγραμμα, συμβολίστε το ύψος του βουνού και
την αρχική απόσταση της γυναίκας από αυτό με
y
και
x
αντίστοιχα. (γ) Χρησιμοποιώντας το διάγραμμα με τα
σύμβολα, γράψτε δύο τριγωνομετρικές εξισώσεις που
συσχετίζουν τις δύο επιλεγμένες μεταβλητές. (δ) Βρείτε
το ύψος
y
.
65.
Ένα παιδί σας παρακολουθεί καθώς γεμίζετε ένα διάφανο
πλαστικό μπουκάλι με σαμπουάν (Εικ. Π Μ1.65). Κάθε
οριζόντια διατομή του μπουκαλιού είναι κυκλική, αλλά οι
Εικόνα Π Μ1.56
Ο Γαλαξίας μας.
Richard Payne/NASA
°
63