Βασικές αρχές θεωρίας πιθανοτήτων

Π ΡΟΛΟΓΟΣ «Μπορούμε να δούμε ότι η θεωρία των πιθανοτήτων είναι κατά βάθος η κοινή λογική που έχει αναχθεί σε αριθμητικούς υπολογισμούς· μας βοηθάει να εκτιμήσουμε με ακρίβεια αυτά που ο κοινός νους αισθάνε- ται ενστικτωδώς, χωρίς συχνά να μπορεί να τα αιτιολογήσει… Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η επιστήμη, που γεννήθηκε από τη μελέτη των τυχερών παιχνιδιών, θα γίνει ενδεχομένως το πιο σημαντικό πεδίο της ανθρώπινης γνώσης… Τα σημαντικότερα ερωτήματα της ζωής είναι, σε μεγάλο βαθμό, προβλήματα πιθανοτήτων.» Αυτά ήταν τα λόγια του διάσημου Γάλλου μαθηματικού και αστρονόμου (τον αποκαλού- σαν «Νεύτωνα της Γαλλίας») Pierre-Simon, Marquis de Laplace. Αν και πολλοί πιστεύουν ότι ο διάσημος μαρκήσιος, ο οποίος ήταν επίσης ένας από τους μεγαλύτερους θεμελιωτές της θεωρίας των πιθανοτήτων, μάλλον υπερέβαλλε, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η θεωρία των πιθανοτήτων έχει γίνει ένα πολύ σπουδαίο εργαλείο για όλους σχεδόν τους επιστήμονες, μηχανικούς, ερευνητές της ιατρικής, νομικούς και οικονο- μολόγους. Πράγματι, ένας φωτισμένος άνθρωπος έχει μάθει να μην κάνει την ερώτηση «Ισχύει αυτό;» αλλά την ερώτηση «Ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει αυτό;» Γενική θεώρηση και επίπεδο μαθηματικών γνώσεων Ο σκοπός μας σε αυτό το βιβλίο είναι να παρέχουμε μια στοιχειώδη εισαγωγή στη θεωρία των πιθανο- τήτων, κατάλληλη για φοιτητές των μαθηματικών, της στατιστικής, της μηχανικής και των επιστημών (συμπεριλαμβανομένων της επιστήμης των υπολογιστών, της βιολογίας, των κοινωνικών και των διοι- κητικών επιστημών) οι οποίοι διαθέτουν γνώσεις στοιχειώδους απειροστικού λογισμού. Η πρόθεσή μας είναι να παρουσιάσουμε όχι μόνο τα μαθηματικά της θεωρίας των πιθανοτήτων, αλλά και τις πολλές και διαφορετικές εφαρμογές της μέσα από πολλά παραδείγματα. Δομή και οργάνωση του βιβλίου Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της συνδυαστικής ανάλυσης, που είναι ιδιαίτερα χρή- σιμες για υπολογισμούς πιθανοτήτων. Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφονται τα αξιώματα της θεωρίας των πιθανοτήτων και ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να εφαρμοστούν σε υπολογισμούς πιθανοτήτων. Το Κεφάλαιο 3 εστιάζει στα ιδιαίτερα σημαντικά θέματα της δεσμευμένης πιθανότητας (conditional probability) και της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων (independence of events). Μέσα από μια σειρά παρα- δειγμάτων δείχνουμε πώς οι δεσμευμένες πιθανότητες είναι χρήσιμες όχι μόνο όταν είναι διαθέσιμη κάποια μερική πληροφόρηση (partial information), αλλά και ως ένα εργαλείο που μας επιτρέπει να υπολο- γίζουμε πιθανότητες πιο εύκολα, ακόμα και στην περίπτωση που δεν υπάρχει μερική πληροφόρηση. Στο Κεφάλαιο 7 θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξαιρετικά σημαντική τεχνική υπολογισμού πιθανοτήτων μέσω «δέσμευσης» για να υπολογίσουμε μέσες τιμές (expectations). Η έννοια της τυχαίας μεταβλητής παρουσιάζεται στα Κεφάλαια 4, 5 και 6. Περιγράφονται οι διακρι- τές τυχαίες μεταβλητές (Κεφάλαιο 4), οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές (Κεφάλαιο 5) και οι από κοινού κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές (Κεφάλαιο 6). Οι σημαντικές έννοιες της μέσης τιμής και της διακύ- μανσης μιας τυχαίας μεταβλητής παρουσιάζονται στα Κεφάλαια 4 και 5, όπου και προσδιορίζονται για τους περισσότερους τύπους γνωστών τυχαίων μεταβλητών. Στο Κεφάλαιο 7 γίνεται αναφορά σε πρόσθετες ιδιότητες της μέσης τιμής. Μέσα από πληθώρα παρα- δειγμάτων καταδεικνύεται η χρησιμότητα του γεγονότος ότι η μέση τιμή ενός αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μέσων τιμών τους. Στο κεφάλαιο αυτό υπάρχουν ενότητες σχετικές με τη δεσμευμένη μέση τιμή και τη χρήση της στη θεωρία της πρόβλεψης, καθώς και με τις ροπογεννήτριες συναρτήσεις (moment generating functions). Επιπλέον, στην τελευταία ενότητα περιγρά- φεται η πολυμεταβλητή κανονική κατανομή και παρουσιάζεται μια απλή απόδειξη για την από κοινού 11