Basic HTML Version
464
ΜΕΡΟΣ ΙΙ
Maxima
σης των συναρτήσεων και μεταβλητών. Κάτι τέτοιο δεν χρειάζεται βέβαια, αλλά δεν θα
είναι λάθος αν γράψουμε τον ορισμό ως εξής:
1
L(x,y,lambda) := ''(U(x,y) + lambda*(I - Px*x - Py*y));
Σε αυτή την περίπτωση, το πρόγραμμα θα μας έδινε την απάντηση:
3 2
5 5
( , , ) ( 2 5 25) 5
x y
y x
x y
= − − + +
λ
λ
L
Και οι δύο τρόποι ορισμού της συνάρτησης είναι συμβατοί με τους σκοπούς της επίλυ-
σης του προβλήματος.
Στη συνέχεια, η μέθοδος επίλυσης του προβλήματος της μεγιστοποίησης προβλέπει την
ικανοποίηση των συνθηκών πρώτης τάξης, δηλαδή την επίλυση των εξισώσεων μηδε-
νισμού των παραγώγων:
2 2
5 5
d
3
5 0
d
x y
x
−
=
− =
λ
L
(19.14α)
3 3
5 5
d
2
5 0
d
x y
y
−
=
− =
λ
L
(19.14β)
d
5 2 25 0
d
x y
= − − + =
λ
L
(19.14γ)
Μπορούμε να ορίσουμε τις εξισώσεις των πρώτων παραγώγων του Maxima ως εξής:
1
2
3
eq1 : diff(L(x,y,lambda), x) = 0;
eq2 : diff(L(x,y,lambda), y) = 0;
eq3 : diff(L(x,y,lambda), lambda) = 0;
Η μαθηματική ανάλυση του συστήματος εξισώσεων (19.14) ξεφεύγει από τους σκο-
πούς αυτού του βιβλίου
*
. Στο Maxima μπορούμε να λύσουμε το σύστημα εξισώσεων
(19.14) με την εντολή
solve
και (προαιρετικά) να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα
στις μεταβλητές
x
max
,
y
max
,
λ
max
ως εξής:
1
2
3
4
sol : solve([eq1, eq2, eq3], [x,y,lambda]);
xmax : rhs(sol[1][1]);
ymax : rhs(sol[1][2]);
lmax : rhs(sol[1][3]), numer;
Όλοι οι ορισμοί του προβλήματος και οι υπολογισμοί της λύσης φαίνονται στο Σχήμα
19.9. Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του όταν, δαπανώντας 25 χρηματι-
κές μονάδες, προμηθεύεται 3 μονάδες προϊόντος
x
και 5 μονάδες προϊόντος
y
.
*
Μπορείτε να βρείτε μια έξοχη παρουσίαση της λύσης εδώ http://bit.ly/AiLyTK, 9 Μαρτίου 2012