Θεωρία τηλεπικοινωνιακής κινήσεως κι εφαρμογές

ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4η έκδοση Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης

5 ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογοι ...................................................................................................... 15 Κεφάλαιο 0: Προ-εισαγωγή: Αντικείμενο της θεωρίας τηλεπικοινωνιακής κινήσεως ................................................ 25 Κεφάλαιο 1: Τηλεπικοινωνιακή Κίνηση – Εισαγωγή ....................................31 Κεφάλαιο 2: Ανάλυση Μαρκοβιανών Συστημάτων Απωλειών ....................57 Κεφάλαιο 3: Ανάλυση Μαρκοβιανών Συστημάτων Αναμονής ......................81 Κεφάλαιο 4: Δίκτυα Αναμονής και Λειτουργικοί Νόμοι ............................. 107 Κεφάλαιο 5: Ανάλυση Μέσης Τιμής σε Δίκτυα Αναμονής .......................... 139 Κεφάλαιο 6: Πολυδιάστατη Κίνηση ............................................................ 165 Κεφάλαιο 7: Δίκτυα Απωλειών Μορφής Γινομένου ................................... 199 Κεφάλαιο 8: Ανάλυση Συστημάτων Εναλλακτικής Δρομολόγησης ............ 219 Κεφάλαιο 9: Μη Μαρκοβιανά Μοντέλα Κίνησης ....................................... 247 Κεφάλαιο 10: Προσομοίωση της Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως ................. 271 Κεφάλαιο 11: Εφαρμογές σε Τηλεπικοινωνιακά Δίκτυα: Διαστασιολόγηση Τερματικών Ζεύξεων και Δυναμική Δρομολόγηση .............. 299 Κεφάλαιο 12: Εφαρμογή της θεωρίας τηλεπικοινωνιακής κινήσεως σε Smart Grid ........................................................................ 337 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑTA Ι. Πρόγραμμα ERLANG – ENGSET ...................................................... 373 ΙΙ. Πίνακες ERLANG – ENGSET ............................................................ 387 ΙΙΙ. Προγράμματα Ανάλυσης Μέσης Τιμής .............................................. 409 ΙV. Ο Αλγόριθμος Primal Cutting-Plane ................................................. 417 V. Απαντήσεις Ασκήσεων .......................................................................... 421 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ....................................................................................... 457 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ............................................................................................. 465

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογοι ................................................................................... 15 Κεφάλαιο 0: Προ-εισαγωγή: Αντικείμενο της θεωρίας τηλεπικοινωνιακής κινήσεως .............................. 25 1. ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ........................26 2. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ......26 3. ΑΥΤΟΤΕΛΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΝ ΜΕΛΕΤΗΣ - ΑΥΤΟΤΕΛΕΣ ΜΑΘΗΜΑ ...............................................................................................26 4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ .........................................27 4.1 Βέλτιστος υπολογισμός των διαστάσεων μιας ζεύξης......................27 4.2 Αξιοποίηση υποσυστημάτων συστήματος χρονομερισμού ..............28 4.3 Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης .......................28 4.4 Αξιολόγηση «καλής» λειτουργίας ....................................................29 4.5 Παρουσίαση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης της κίνησης στον Η/Υ .......................................................................30 4.6 Βελτίωση της συνολικής απόδοσης των ζεύξεων του δικτύου.........30 Κεφάλαιο 1: Τηλεπικοινωνιακή Κίνηση – Εισαγωγή ................ 31 1. Η ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ .........................32 1.1 Συμφόρηση της τηλεπικοινωνιακής κινήσεως..................................35 1.2 Βαθμός εξυπηρέτησης ......................................................................35 1.3 Το βασικό πρόβλημα των τηλεπικοινωνιών .....................................36 2. ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ.............................37 2.1 Φορτίο κίνησης .................................................................................37 2.1.1 Ορισμός ..................................................................................37 2.1.2 Ιδιότητες τηλεπικοινωνιακής κινήσεως..................................39 2.1.3 Μετρήσεις της τηλεπικοινωνιακής κινήσεως .........................39

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.2 Μοντέλο άφιξης και εξυπηρέτησης κλήσεων .................................. 42 2.2.1 Διαδικασία γεννήσεως κλήσεων ............................................ 42 2.2.2 Κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης των κλήσεων.............. 46 2.3 Ταξινόμηση των μοντέλων κίνησης................................................. 48 3. ΘΕΜΕΛΕΙΩΔΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ .................................................................. 50 3.1 Η Μαρκοβιανή Ιδιότητα .................................................................. 50 3.2 Η Ιδιότητα PASTA .......................................................................... 51 3.3 Ο Νόμος του Little ........................................................................... 52 3.4 Επέκταση του νόμου του Little ........................................................ 53 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................. 55 Κεφάλαιο 2: Ανάλυση Μαρκοβιανών Συστημάτων Απωλειών................................................................. 57 1. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΩΛΕΙΩΝ – Μ/Μ/s(0) .................................................... 58 2. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ.................................................................... 60 3. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΩΛΕΙΩΝ M(n)/M/s(0) .................................................. 61 4. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΑΦΙΞΗ ΤΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ .................................................................................... 64 5. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΚΛΗΣΕΩΣ ............................................. 65 6. ΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ.................................. 76 7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................. 78 Κεφάλαιο 3: Aνάλυση Μαρκοβιανών Συστημάτων Αναμονής.................................................................. 81 1. ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ .................................... 82 1.1 Μ/Μ/s queue .................................................................................... 82 1.2 Μέσος χρόνος αναμονής .................................................................. 84 1.3 Κατανομή του χρόνου αναμονής ..................................................... 87 2. ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΩΝ MAΡKOBIANΩΝ MONTEΛΩΝ............................ 94 2.1 Διαδικασίες «γέννησης – θανάτου» ................................................. 94 2.2 M/M/s/m ........................................................................................... 95 2.3 M(n)/M/s queue.............................................................................. 100 3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................... 104

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Κεφάλαιο 4: Δίκτυα Αναμονής και Λειτουργικοί Νόμοι .......... 107 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ...................................................108 1.1 Ανοικτά και κλειστά δίκτυα αναμονής ...........................................110 1.2 Μοντέλα δικτύων αναμονής μορφής γινομένου .............................111 2. ΜΟΝΤΕΛΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ Η/Υ .................................120 3. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ .....................................................................122 3.1 Ο νόμος της αξιοποίησης ................................................................123 3.2 Ο νόμος της εξαναγκασμένης ροής ................................................124 3.3 Ο νόμος του Little...........................................................................129 3.4 Ο γενικός νόμος του χρόνου απόκρισης .........................................130 3.5 Ο νόμος της διαλογικής απόκρισης ................................................131 3.6 Ανάλυση κυκλοφοριακής συμφόρησης ..........................................132 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................136 Κεφάλαιο 5: Ανάλυση Μέσης Τιμής σε Δίκτυα Αναμονής ..... 139 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ...........................140 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ................................................................146 2.1 Αλγόριθμος ανάλυσης μέσης τιμής (MVA) ...................................148 2.2 Προσεγγιστική ανάλυση μέσης τιμής .............................................151 2.2.1 Αλγόριθμος MVA βάσει της προσέγγισης Schweitzer ....... 152 3. ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΜΕΝΑ ΟΡΙΑ ΚΛΗΣΕΩΝ.............................................155 3.1 Αλγόριθμος εύρεσης των εξισορροπημένων ορίων........................160 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................163 Κεφάλαιο 6: Πολυδιάστατη Κίνηση .......................................... 165 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ .........................................166 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΙ-ΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ .................166 3. ΓΕΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ.......................170 3.1 Τρόποι διάθεσης των πόρων του συστήματος ................................171 3.2 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης ..............................177 3.3 Αναδρομικός τύπος υπολογισμού της πιθανότητας απωλείας κλήσεως ..........................................................................................182 4. ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΔΕΣΜΕΥΣΗΣ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ ....................................188 4.1 Προσεγγιστικός υπολογισμός πιθανοτήτων απωλείας κλήσεως για σύστημα δέσμευσης εύρους ζώνης ............................189 5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................196

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 7: Δίκτυα Απωλειών Μορφής Γινομένου ................ 199 1. ΔΙΚΤΥΑ ΑΠΩΛΕΙΩΝ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ............................... 200 2. ΤΟ «ΟΡΙΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ» ΓΙΑ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ............... 205 3. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΜΕΙΩΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ .......................................... 206 4. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΜΕΙΩΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ................... 210 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ EMLM ΣΕ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΖΕΥΞΕΩΝ .................................................................. 211 6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................... 216 Κεφάλαιο 8: Ανάλυση Συστημάτων Εναλλακτικής Δρομολόγησης ..................................................... 219 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΕΡΡΟΗΣ................................................................. 220 1.1 Μοντέλο κίνησης υπερροής ........................................................... 220 1.2 Μέση τιμή και διασπορά των κλήσεων υπερροής ......................... 222 2. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ................. 223 3. ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗΣ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ .............................................................................. 228 3.1 Κλασική μέθοδος ........................................................................... 228 3.2 Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως ........................................................................... 230 3.3 Μέθοδος βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών .................. 233 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ................. 235 4.1 Ακριβής υπολογισμός της πιθανότητας απωλείας κλήσεως .......... 238 5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................... 242 Κεφάλαιο 9: Μη Μαρκοβιανά Μοντέλα Κίνησης ..................... 247 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................... 248 2. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΝΕΩΣΗΣ .............................................................. 248 2.1 Κατανομή του υπολειπόμενου χρόνου........................................... 248 2.2 Μέσος υπολειπόμενος χρόνος........................................................ 250 2.3 Νόμος της διατήρησης του ρυθμού................................................ 252 3. ΜΟΝΤΕΛΑ POISSON – ΓΕΝΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ.... 253 3.1 Σύστημα αναμονής M/G/1 ............................................................. 253 3.1.1 Ενσωματωμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα ................................ 254

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 3.1.2 Πιθανότητα κατάστασης κατά την αναχώρηση των κλήσεων ........................................................................ 255 3.1.3 Κατανομή του χρόνου αναμονής......................................... 258 3.2 Σύστημα αναμονής M/G/1(m) ........................................................260 4. MΟΝΤΕΛΟ POISSON – ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ: M/D/s .................................................................... 262 4.1 Γεννήτρια συνάρτηση της πιθανότητας κατάστασης......................263 4.2 Mέσος χρόνος αναμονής.................................................................264 4.3 Κατανομή του χρόνου αναμονής ....................................................266 5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................268 Κεφάλαιο 10: Προσομοίωση της Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως .............................................................. 271 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................272 2. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ............................................................. 274 2.1 Σύλληψη του προβλήματος και μοντελοποίηση.............................274 2.2 Γλώσσες προγραμματισμού για προσομοίωση...............................275 2.2.1 Η Γλώσσα προσομοίωσης GPSS......................................... 276 2.3 Γλώσσες προγραμματισμού γενικού σκοπού .................................277 2.3.1 Η Μέθοδος της Μαρκοβιανής Αλυσίδας............................. 277 2.3.2 Η Μέθοδος του Χρονικού Εντοπισμού ............................... 280 3. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ................................................281 3.1 Μέθοδοι δημιουργίας τυχαίων αριθμών .........................................281 3.2 Ομοιόμορφοι τυχαίοι αριθμοί .........................................................281 3.2.1 Μέθοδος Μέσου Τετραγώνου ............................................. 281 3.2.2 Πολλαπλασιαστική μέθοδος υπολοίπου.............................. 282 3.2.3 Μεικτή μέθοδος υπολοίπου ................................................. 282 3.2.4 Μέθοδος της ακολουθίας Μ ................................................ 282 3.3 Τυχαίοι αριθμοί αυθαίρετης κατανομής .........................................283 3.3.1 Μέθοδος αντίστροφου μετασχηματισμού ........................... 283 3.3.2 Μέθοδος της απόρριψης ...................................................... 286 3.3.3 Μέθοδος της σύνθεσης ........................................................ 287 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ.....288 4.1 Διάστημα εμπιστοσύνης .................................................................288 4.2 Η μέθοδος των επαναλήψεων .........................................................288 4.3 Η μέθοδος της μέσης τιμής υποσυνόλων........................................291 4.4 Η Αναγεννητική Μέθοδος ..............................................................293 5. ΣΥΝΗΘΗ ΛΑΘΗ ΣΤΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ........................................293 6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................296

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 11: Εφαρμογές σε Τηλεπικοινωνιακά Δίκτυα: Διαστασιολόγηση Τερματικών Ζεύξεων και Δυναμική Δρομολόγηση .............................. 299 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................... 300 2. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ – ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΛΗΣΕΩΝ................................ 300 2.1 Έλεγχος αποδοχής κλήσης (Call Admission Control –CAC) ....... 301 2.2 Έλεγχος συμφόρησης (Congestion Control).................................. 302 2.3 Έλεγχος δέσμευσης εύρους ζώνης (Bandwidth Reservation)....... 302 2.4 Δυναμική δρομολόγηση (Dynamic Routing)................................. 302 2.5 Έλεγχος εύρους ζώνης τερματικών ζεύξεων (Path Bandwidth Control) .............................................................. 302 3. ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ ΤΕΡΜΑΤΙΚΩΝ ΖΕΥΞΕΩΝ ............................................................................................ 303 3.1 Αρχιτεκτονική δικτύου και το πρόβλημα βελτιστοποίησης.......... 303 3.2 Αξιοπιστία δικτύου ........................................................................ 305 3.3 Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης....... 306 3.4 Επίλυση .......................................................................................... 308 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ............................ 317 4.1 Το Αμερικανικό σύστημα DNHR – TSMR (Dynamic Non-Hierarchical Routing – Trunk Status Map Routing) .............. 319 4.2 Το Καναδικό σύστημα DCR (Dynamically Controlled Routing) ... 321 4.3 Το Αγγλικό σύστημα DAR (Dynamic Alternative Routing) ......... 327 4.4 Το Ιαπωνικό σύστημα STR (State and Time-dependent Routing) ......................................................................................... 328 4.5 Απόδοση των συστημάτων δυναμικής δρομολόγησης .................. 329 5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................... 330 Κεφάλαιο 12: Εφαρμογή της θεωρίας τηλεπικοινωνιακής κινήσεως σε Smart Grid ..................................... 337 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................... 338 2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ SMART GRID ...................................................... 338 3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΗΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ........................................................................ 341 3.1 Τυχαία άφιξη αιτημάτων ζήτησης παροχής ενέργειας................... 341 3.2 Ημι-τυχαία άφιξη αιτημάτων ζήτησης παροχής ενέργειας ............ 342 4. ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ............................................... 344

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 13 5. ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΚΑΤΩΦΛΙΑ ..............................350 5.1 Το μοντέλο απλού κατωφλίου ........................................................350 5.2 Το πεπερασμένο μοντέλο απλού κατωφλίου ..................................353 5.3 Μοντέλα πολλαπλών κατωφλίων κοινών μεταξύ υπηρεσιών ........361 6. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΚΑΤΩΦΛΙΩΝ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ....................................................................363 6.1 Μοντέλο πολλαπλών κατωφλίων εξαρτημένων από τις υπηρεσίες ...................................................................................363 6.2 Το πεπερασμένο μοντέλο πολλαπλών κατωφλίων εξαρτημένων από τις υπηρεσίες......................................................366 7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................370 Παράρτημα Ι: Πρόγραμμα ERLANG – ENGSET......................... 373 Παράρτημα ΙΙ: Πίνακες ERLANG – ENGSET............................... 387 Παράρτημα ΙΙΙ: Προγράμματα Ανάλυσης Μέσης Τιμής............. 409 Παράρτημα ΙV: Ο Αλγόριθμος Primal Cutting-Plane ................. 417 Παράρτημα V: Απαντήσεις Ασκήσεων....................................... 421 Βιβλιογραφία................................................................................. 457 Ευρετήριο ..................................................................................... 465

15 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1ης ΕΚΔΟΣΗΣ Η Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως είναι ένας κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών και ειδικότερα της εφαρμοσμένης πιθανοθεωρίας. Στην βιβλιογραφία απαντάται με διάφορα ονόματα, όπως θεωρία συμφόρησης (congestion theory), θεωρία των στοχαστικών συστημάτων εξυπηρέτησης (theory of stochastic service systems), θεωρία ουρών (queuing theory) και θεωρία της μαζικής εξυπηρέτησης (theory of mass service). Επίσης αντικείμενα της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως εξετάζονται και από την επιστήμη της Επιχειρησιακής Ερεύνης (Operation Research). Ο όρος Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως (Teletraffic Theory) χρησιμοποιείται για θεωρίες ανάλυσης της κίνησης τηλεπικοινωνιακών συστημάτων, αρχίζοντας από τα τηλεφωνικά συστήματα. Το παρόν σύγγραμμα, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, καλύπτει τις πανεπιστημιακές παραδόσεις του μαθήματος «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως», το οποίο διδάσκεται στο Β' εξάμηνο του τετάρτου έτους (8ο εξάμηνο), στο τμήμα «Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών» του Πανεπιστημίου Πατρών, ως μάθημα του τομέα «Τηλεπικοινωνίες & Τεχνολογία της Πληροφορίας». Πραγματεύεται ένα από τα βασικότερα προβλήματα των τηλεπικοινωνιών, το πρόβλημα του υπολογισμού των διαστάσεων και της αξιολόγησης της λειτουργίας τηλεπικοινωνιακών (κυρίως) και υπολογιστικών συστημάτων. Το βιβλίο απευθύνεται κατ’ αρχήν σε τηλεπικοινωνιακούς μηχανικούς και μηχανικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητας της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στον γενικώτερο επιστημονικό τομέα των μηχανικών, συνιστάται η γνώση του αντικειμένου του βιβλίου αυτού σ’ όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς και ιδιαιτέρως σε όσους εξειδικεύονται στον τομέα των τηλεπικοινωνιακών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διαχειριστές, αναλυτές ή σχεδιαστές. Ιδιαιτέρως συνιστάται, ως βασικό μαθηματικό υπόβαθρο, στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στους προαναφερθέντες τομείς. Ας σημειωθεί δε, ότι η γνώση του αντικειμένου της Θεωρίας Τηλεπι-

16 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1ης ΕΚΔΟΣΗΣ κοινωνιακής Κινήσεως μεταξύ άλλων υποβοηθεί στην πολύ καλύτερη κατανόηση των μαθημάτων «Τηλεπικοινωνιακά Δίκτυα Ευρείας Ζώνης», «Διαχείριση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων» και άλλων «δικτυακών μαθημάτων» που διδάσκονται είτε από τον συγγραφέα είτε από συναδέλφους στο Ε΄ έτος σπουδών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών, καθώς και μαθημάτων του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών. Για την κατανόηση της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως απαιτείται μόνον η γνώση πιθανοθεωρίας, αν και όλες οι απαραίτητες έννοιες επεξηγούνται είτε στο βιβλίο (συνοπτικά) είτε κατά την διδασκαλία του μαθήματος. Το βιβλίο απαρτίζεται από ένα προ-εισαγωγικό κεφάλαιο, δέκα κεφάλαια, τρία παραρτήματα, βιβλιογραφία και ευρετήριο βασικών όρων οι οποίοι συνοδεύονται με την αντίστοιχη αγγλική ορολογία. Αξίζει να τονισθεί ότι κάθε κεφάλαιο περιέχει πολλά λυμένα παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις. Με τα παραδείγματα και τις ασκήσεις αποδεικνύεται εν κατακλείδι ότι το μάθημα της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως δεν είναι μόνον ένα θεωρητικό μάθημα αλλά συγχρόνως άκρως εφαρμοσμένο. Το προ-εισαγωγικό κεφάλαιο (0) επεξηγεί το αντικείμενο της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως μέσω παραδειγμάτων και την ανάγκη ύπαρξης αυτοτελούς μαθήματος. Το πρώτο κεφάλαιο (1) είναι εισαγωγικό και περιλαμβάνει τους βασικούς ορισμούς και τις θεμελιώδεις σχέσεις που απαιτούνται για την μοντελοποίηση και την θεωρητική ανάλυση των διαφόρων συστημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο (2) αναλύονται τα Μαρκοβιανά συστήματα απωλειών για διάφορα συστήματα εξυπηρέτησης. Στο τρίτο κεφάλαιο (3) αναλύονται βασικά Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής και καθίσταται σαφές ότι τα περισσότερα Μαρκοβιανά Μοντέλα ευρείας εφαρμογής είναι διαδικασίες Γέννησης-Θανάτου (Birth-Death processes). Στο τέταρτο κεφάλαιο (4) παρουσιάζονται όχι μεμονωμένα συστήματα εξυπηρέτησης με ουρές αναμονής αλλά δίκτυα αναμονής τα οποία αναλύονται βάσει απλών σχέσεων που λέγονται λειτουργικοί νόμοι. Στο πέμπτο κεφάλαιο (5) επεκτείνονται τα αποτελέσματα του τετάρτου κεφαλαίου στην ανάλυση της λειτουργίας των δικτύων αναμονής. Παρουσιάζεται μια πολύ δημοφιλής τεχνική ανάλυσης για τον προσδιορισμό των μέσων τιμών απόδοσης ενός συστήματος, η οποία καλείται ανάλυση μέσης τιμής. Το έκτο κεφάλαιο (6) πραγματεύεται τα πολυδιάστατα μοντέλα τηλεπικοινωνιακής κινήσεως και έχει ιδιαίτερη σπουδαιότητα, καθόσον τα μοντέλα αυτά εμφανίζονται στα μοντέρνα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα πολλα-

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1ης ΕΚΔΟΣΗΣ 17 1 2 6 1 2 3 9 1 2 8 1 2 10 1 4 3 7 5 πλών υπηρεσιών (και στα δίκτυα του ΟΤΕ, τύπου Narrowband και Broadband ISDN). Στο έβδομο κεφάλαιο (7) εξετάζονται οι απώλειες της τηλεπικοινωνιακής κινήσεως όχι σε μια μεμονωμένη ζεύξη ενός τηλεπικοινωνιακού δικτύου αλλά σε μια διαδρομή (route) που απαρτίζεται από τουλάχιστον δύο ζεύξεις. Στο όγδοο κεφάλαιο (8) εξετάζονται τα συστήματα εναλλακτικής δρομολόγησης. Παρουσιάζονται μέθοδοι (όπως η περίφημη θεωρία της ισοδύναμης τυχαίας κίνησης) που στόχον έχουν να υπολογίσουν τις απώλειες της κίνησης και τις χωρητικότητες των ζεύξεων σε τηλεπικοινωνιακά δίκτυα που περιλαμβάνουν σύστημα εναλλακτικής δρομολόγησης της κίνησης. Στo ένατο κεφάλαιο (9) εξετάζονται μη Μαρκοβιανά μοντέλα κίνησης, δηλαδή συστήματα εξυπηρέτησης όπου ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί γενική στατιστική κατανομή ή είναι σταθερός. Τα συμπεράσματα του κεφαλαίου αυτού είναι ιδιαιτέρως χρήσιμα καθόσον μπορούμε να αξιολογήσουμε π.χ. συγκριτικά δύο συστήματα μετάδοσης. Στο δέκατο κεφάλαιο (10) παρουσιάζονται διάφορα θέματα προσομοίωσης της τηλεπικοινωνιακής κινήσεως στον υπολογιστή ενώ δίδεται έμφαση στην ανάλυση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. Το πρώτο παράρτημα (Ι) περιλαμβάνει προγράμματα σε γλώσσα Fortran, για τον υπολογισμό στον Η/Υ βασικών μοντέλων απωλειών (Erlang – Engset). Το δεύτερο παράρτημα (ΙΙ) περιλαμβάνει δείγματα των πινάκων Erlang. Το τρίτο παράρτημα (ΙΙΙ) περιλαμβάνει τις απαντήσεις των ασκήσεων κάθε κεφαλαίου. Οι πλήρεις λύσεις των ασκήσεων θα είναι στην διάθεση των καθηγητών που θα υιοθετήσουν το βιβλίο αυτό ως εγχειρίδιο διδασκαλίας σχετικού μαθήματος (απευθύνατε σχετική αίτηση στην διεύθυνση: mlogo@upatras.gr). Ακολουθεί η βιβλιογραφία, και το σύγγραμμα τελειώνει με το ευρετήριο. Η σειρά διαβάσματος των κεφαλαίων μπορεί να τροποποιηθεί κατά το παραπλεύρως διάγραμμα.

18 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1ης ΕΚΔΟΣΗΣ Ευχαριστίες: Πολλές ευχαριστίες οφείλονται στον διευθυντή του Εργαστηρίου Ενσύρματης Τηλεπικοινωνίες (Πανεπιστήμιο Πατρών), καθηγητήν κ. Γ. Κοκκινάκη για την βιβλιογραφία που μου παρέσχε. Ιδιαιτέρως ευχαριστώ τον κ. Ι. Μοσχολιό, μεταπτυχιακόν φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών, για την βοήθεια που μου προσέφερε στην υλοποίηση των διαφόρων υπολογιστικών εκφράσεων στον Η/Υ, για την συμβολή του στην παρουσίαση των θεμάτων του τετάρτου, πέμπτου και εβδόμου κεφαλαίου, στην λύση των ασκήσεων και στην όλη προετοιμασία αυτού του εγχειριδίου. Ωσαύτως ευχαριστώ τον καθηγητήν του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Η/Υ κ. Γ. Παπαδόπουλο για την πρωτοβουλία του επί του προγράμματος ΕΠΕΑΕΚ, από την δράση του οποίου "Συγγράμματα" χρηματοδοτήθηκε εν μέρει το παρόν πόνημα. Πάτρα, Απρίλιος 2001 Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών

19 1 2 6 8 10 7 11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 2ης ΕΚΔΟΣΗΣ Η 2η έκδοση του βιβλίου αυτού, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, αποτελεί βελτιωμένη και επαυξημένη έκδοση του βιβλίου που εκδόθηκε το 2001 από τις εκδόσεις Παπασωτηρίου, και εξαντλήθηκε. Το παρόν σύγγραμμα αγαπήθηκε από προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές, τόσο του Πανεπιστημίου Πατρών όσον και άλλων ελληνικών πανεπιστημίων. Ιδιαιτέρως έγινε κτήμα και εφόδιο των μεταπτυχιακών φοιτητών μου, οι οποίοι με υπόβαθρο την Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως εκπόνησαν πλούσιο επιστημονικό έργο που έτυχε διεθνούς αναγνωρίσεως. Από την αγάπη αυτή των φοιτητών μου ορμώμενος, προχώρησα στη 2η έκδοση για να δείξω νέες εφαρμογές της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως, που αφορούν σε ολόκληρο το τηλεπικοινωνιακό δίκτυο και όχι μόνο σε μεμονωμένες ζεύξεις του δικτύου, και, επί τη ευκαιρία, να διορθώσω λάθη που ο «δαίμων του τυπογραφείου» είχε προξενήσει. Απώτερος στόχος της 2ης έκδοσης είναι, μέσω σημαντικών πρακτικών εφαρμογών που προτείνω, να αναδειχθεί η σημασία της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στους μηχανικούς των τηλεπικοινωνιών στον ελληνικό χώρο. Δεδομένου μάλιστα ότι οι εφαρμογές αυτές έτυχαν μεγάλης αναγνωρίσεως από οργανισμούς ή εταιρείες του εξωτερικού, όπως ΝΤΤ, Hitachi (Ιαπωνία), IBM, Lucent (ΗΠΑ)[56]-[59], αλλά και πανεπιστημιακής διδασκαλίας, όπως στο SUNY (Buffalo, NY, ΗΠΑ)[55]. Προστέθηκε το κεφάλαιο 11, το μεγαλύτερο του βιβλίου, συν το Παράρτημα «Ο Αλγόριθμος Primal Cutting-Plane» (επέκταση της Simplex) που σχετίζεται με το Κεφ. 11, όπου παρουσιάζονται εφαρμογές οι οποίες τυγχάνουν ευρείας χρήσεως στα σύγχρονα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα. Αφού δίδεται μια συνολική θεώρηση του ελέγχου της κίνησης σε δίκτυα, ακολούθως μελετώνται ο έλεγχος εύρους ζώνης των τερματικών ζεύξεων του δικτύου και η δυναμική δρομολόγησης της κίνησης. Και οι δύο αυτοί έλεγχοι επηρεάζο- νται δραστικά από τις χωρητικότητες εύρους ζώνης των γραμμών μετάδοσης του δικτύου. Η εμπέδωσή τους γίνεται μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων και ασκήσεων. Όσον αφορά στην υπόλοιπη

20 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 2ης ΕΚΔΟΣΗΣ ύλη της 2ης έκδοσης του βιβλίου, έμφαση δίδεται στην γεωμετρική κατανομή λόγω της μεγάλης σημασίας της στα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα. Στο ακόλουθο σχήμα παρουσιάζεται η προτεινομένη διαδοχή των κεφαλαίων, για την επιτυχή διδασκαλία του κεφαλαίου 11. Ευχαριστίες για την 2η έκδοση: Πολλές και ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον κ. Ιωάννη Δ. Μοσχολιό, νυν Λέκτορα στο Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου (Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών) για την αμέριστη συμπαράσταση και βοήθειά του. Πέραν της επιστημονικής του γνώμης την οποίαν για λόγους δεοντολογίας δεν δίσταζε να μου εκθέτει, η βοήθειά του έφθασε στην λέξη προς λέξη ανάγνωση και σχολιασμό του κειμένου. Επίσης, ευχαριστώ και συγχαίρω τους Μεταπτυχιακούς φοιτητές μου, κ. Βασίλη Γ. Βασιλάκη (νυν Διδάκτορα) και κ. Ιωάννη Σ. Βαρδάκα (νυν Υποψήφιο Διδάκτορα) για τις επιστημονικές τους εργασίες και την πρόοδο σε θέματα Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως που κατόρθωσαν. Πάτρα, Νοέμβριος 2011 Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών

21 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3ης ΕΚΔΟΣΗΣ Ωσαύτως, η 3η έκδοση του βιβλίου αυτού αποτελεί βελτιωμένη και επαυξημένη έκδοση, κατά 50 σελίδες, της 2ης έκδοσης. Επαυξήθηκε ο αριθμός των παραδειγμάτων στα κεφάλαια 4, 5, 6, 7, 8 και 10. Ιδιαίτερη μνεία αξίζει το εκτενές και επεξηγηματικό Παράδειγμα 6.9, του πολύ σημαντικού κεφαλαίου 6 («Πολυδιάστατη Κίνηση», δηλ. κίνηση από πολλές υπηρεσίες), καθώς και οι ασκήσεις προσομοίωσης που προστέθηκαν στο κεφάλαιο 10 («Προσομοίωση της Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως»), διότι μπορούν να λυθούν χωρίς την βοήθεια λογισμικού, βάσει των μεθόδων δημιουργίας ψευδοτυχαίων αριθμών που περιγράφονται στο κεφάλαιο αυτό, και με την βοήθεια EXCEL spreadsheets (Microsoft Office Suite). Οι λύσεις των ασκήσεων αυτών συμπεριελήφθησαν στο Παράρτημα V (πρώην Παράρτημα IV «Απαντήσεις Ασκήσεων») με λεπτομερή σχολιασμό. Στο Παράρτημα ΙΙ που περιείχε μόνο πίνακες Erlang με βάση την B-Formula, προστέθηκαν και πίνακες Erlang με βάση την C-Formula, καθώς και πίνακες Engset οι οποίοι (διαπιστώθηκε ότι) είναι δυσεύρετοι π.χ. μέσω Διαδικτύου. Δημιουργήθηκε νέο Παράρτημα (Παράρτημα ΙΙΙ) με προγράμματα Fortran για την Ανάλυση της Μέσης Τιμής (Κεφάλαιο 5). Συνοπτικά, η 3η έκδοση του βιβλίου αυτού περιλαμβάνει:  113 σχήματα  64 παραδείγματα  66 ασκήσεις με απαντήσεις  περιγραφή λογισμικού (κώδικα)  αγγλική ορολογία  επιπρόσθετο υλικό: https://eclass.upatras.gr/courses/EE772/

22 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3ης ΕΚΔΟΣΗΣ Ευχαριστίες για την 3η έκδοση: Για μία ακόμη φορά, πολλές και ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον κ. Ιωάννη Δ. Μοσχολιό, Αναπληρωτή Καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών) για την κριτική ανάγνωση της έκδοσης. Επίσης, στην κ. Ράνια Ντουφεξή (Γραμματεία Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών) για την επιλογή του εξωφύλλου. Πάτρα, Ιούλιος 2018 Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών

23 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 4ης ΕΚΔΟΣΗΣ Έχοντας χρησιμοποιήσει το παρόν βιβλίο ως βασικό εγχειρίδιο του μαθήματος Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Συστήματα Αναμονής (ΘΤΚ & ΣΑ) στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών επί πολλά συναπτά έτη (από το 2001), προέκυψε η ανάγκη της 4ης έκδοσης για περαιτέρω βελτίωση της ύλης της 3ης έκδοσης από διάφορες αστοχίες (κυρίως αριθμητικών αποτελεσμάτων – πανταχού παρών ο «δαίμων του τυπογραφείου»), αλλά προπάντων από την ανάγκη να καταδειχθούν συγκεκριμένες εφαρμογές της ΘΤΚ & ΣΑ, πέραν του πεδίου των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Προς τον σκοπό αυτόν, στην 4η έκδοση προστέθηκε ένα νέο κεφάλαιο (Κεφ. 12), όπου παρουσιάζονται εφαρμογές της ΘΤΚ & ΣΑ σε Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας –συγκεκριμένα στο Έξυπνο Ενεργειακό Δίκτυο (Smart Grid). Για την εφαρμογή σε Smart Grid χρησιμοποιούνται μοντέλα που εμπεριέχονται στην 3η έκδοση, αλλά περιγράφονται και νέα μοντέλα πολυδιάστατης κίνησης, για τον ενδελεχή έλεγχο της κατανάλωσης ενέργειας σε ηλεκτρικά δίκτυα. Τα νέα αυτά μοντέλα παρουσιάζονται όχι μόνο προσανατολισμένα σε Smart Grid, αλλά και σε τηλεπικοινωνιακά συστήματα ώστε να διατηρείται η τηλεπικοινωνιακή φύση του παρόντος πονήματος. Τα νέα μοντέλα χαρακτηρίζονται ως μοντέλα κατωφλίων και αντιμετωπίζουν περιπτώσεις όπου μία κλήση έχει εναλλακτικές απαιτήσεις εξυπηρέτησης (π.χ. όταν δεν μπορεί να διεκπεραιωθεί με την αρχική της απαίτηση, προσπαθεί ξανά με μικρότερη απαίτηση, κ.ο.κ). Εν πάση περιπτώσει, το μεγάλο κέρδος για τον γενικό αναγνώστη είναι ότι μπορεί να κατανοήσει μέσω του Κεφ. 12, πώς είναι δυνατόν τα μοντέλα ΘΤΚ & ΣΑ να χρησιμοποιηθούν σε διάφορες εφαρμογές. Συνοπτικά, η 4η έκδοση του βιβλίου αυτού περιλαμβάνει:  117 σχήματα  66 παραδείγματα  73 ασκήσεις με απαντήσεις  περιγραφή λογισμικού (κώδικα)  αγγλική ορολογία  επιπρόσθετο υλικό: https://eclass.upatras.gr/courses/EE772/

24 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 4ης ΕΚΔΟΣΗΣ Ευχαριστίες για την 4η έκδοση: Όπως για όλες τις προηγούμενες εκδόσεις έτσι και για την 4η έκδοση, πολλές και ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον κ. Ιωάννη Δ. Μοσχολιό, Καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών) για την κριτική ανάγνωση της έκδοσης και την συνεχή επιμέλεια των ασκήσεων. Προ πάντων όμως πολλές και ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον κ. Ιωάννη Σ. Βαρδάκα, νυν Αναπληρωτή Καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας (Τμήμα Πληροφορικής) για την επινόηση της εφαρμογής της ΘΤΚ & ΣΑ στην μελέτη Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας (και συγκεκριμένα στο Έξυπνο Ενεργειακό Δίκτυο – Smart Grid). Χωρίς την εμπεριστατωμένη ερευνητική αυτή δραστηριότητα του κ. Βαρδάκα, η 4η αυτή έκδοση του βιβλίου μου πιθανώς να είχε άλλο χαρακτήρα και να μη μπορούσε να καταδείξει την ευρεία εφαρμοσιμότητα της ΘΤΚ & ΣΑ. Πάτρα, Μάρτιος 2025 Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy MTk1OTAxMA==